Загадочный мир головоломок

По сути, многие древние задачи представляли собой головоломки, которые использовались в обучении. Решение каких-то из них влекло за собой дальнейшие успехи математики, что, в свою очередь, способствовало разнообразию самих головоломок, так как расширяло их тематическую содержательность.

Уже в древней Месопотамии, почти пять тысяч лет назад, составляли и решали достаточно сложные алгебраические задачи на определение неизвестной величины. Позже в Древнем Египте появились первые задачники.

Задачи, помещенные в них, были просты с точки зрения сегодняшнего дня, но уже тогда многие из них имели житейскую наполненность, а это приближало бесстрастные вычисления к реальности. Их безошибочно можно отнести к головоломкам, так как относительная простота сочеталась с изрядной долей содержательности, превращая поиски решения в увлекательное занятие.

Шотландский египтолог Хинд обнаружил папирус, датируемый XVII веком до нашей эры, посвященный математике. Он представляет собой свиток длиной около пяти с половиной метров и шириной около пятнадцати сантиметров. Писец Ахмес, написавший текст, утверждает, что скопировал его с оригинала двухсотлетней давности.

Задача 79 из папируса имеет следующее содержание:

В семи домах содержат по семь кошек. Каждая кошка ловит семь мышей в день, а каждая мышь, останься она живой, съела бы за тот же день семь колосьев пшеницы. Если каждый колос может дать семь гекатов зерна, сколько всего здесь перечислено?

Математика формировалась неравномерно, в разное время вклад в ее развитие сделали Вавилон, Древняя Греция, Китай, Индия. Кстати, математика в Вавилоне имела дело не только с арифметикой, но и с алгеброй, серьезно обгоняя в этом отношении Египет. Интересно, что в Вавилоне использовалась шестеричная система счисления.

Древнегреческий математик Диофант почти через две тысячи лет после появления папируса Хинда предложил такую задачу:

«Найти три числа, которые при попарном сложении дают в сумме двадцать, тридцать и сорок».

В Европе самым первым собранием головоломок и логических задач стала книга «Задачи для развития молодого ума» ирландского богослова, ученого и просветителя Алкуина. Она появилась во второй половине IX века. Написанная на латинском языке, книга включала 53 задачи.

Рассмотрим несколько задач из этой книги.

Одна из самых известных в этой книге задач — «Задача о волке, козе и капусте», так же известная под названием «задача о переправе».

Перевозчик должен перевести волка, козу и капусту, но в лодку влезает только две позиции из трех. Как ему перевезти их всех, если волк хочет съесть козу, а коза — капусту и их вместе наедине оставить никак нельзя?

Решение.

Перевозчик везет козу, а волка оставляет наедине с капустой. Возвращается и забирает волка. Привозит волка к козе, но козу забирает обратно. Снова берет капусту, а козу оставляет. Пусть волк развлекается с капустой. Напоследок возвращается и забирает бедную овечку, козу то есть.

Задача человека на улице.

Шел себе человек по улице и вдруг увидел группу людей. Он не нашел ничего лучшего, чтобы сказать: вас так много, что если число вас удвоить, к нему добавить половину, потом еще половину, а также сосчитать и меня, то получится 100. Кто готов сказать, сколько народа на улице?

Решение.

Алкуин говорит: 36. А дальше проверяет решение. Теперь такие задачи принято решать с помощью уравнения, например, вот такого:

2x + x/2 + x/4 + 1 = 100, тогда x = 36.

Задача об отце и трех его сыновьях.

Означенный отец умер и оставил своим трем сыновьям 30 стеклянных сосудов, из 10 были полны вином, 10 — заполнены вином наполовину, а 10 — пусты. Разделите вино и сосуды так, чтобы каждому из сыновей всего досталось поровну.

Решение.

Каждому должно достаться 10 сосудов, из них пять полных вина. Самое простое решение: одному сыну выдать десять полуполных сосудов, а 10 полных сосудов разделить между оставшимися сыновьями. Пустые десять разделить между ними тоже.

Если поделить все тупо поровну, то каждому достанутся по 3 сосуда: полных, полупустых и пустых. И останутся неразделенными: полный сосуд, полупустой и пустой. Тут надо или переливать полный в пустой, чтобы получить три полупустых, или одному сыну выдать полупустой, а дальше производить сложный обмен: одному выдать полный и пустой, а взамен у него забрать полупустой и отдать оставшемуся сыну.

Задача вола

«Сколько следов на последней борозде оставит вол, на котором пахали весь день.»

Решение.

Алкуин показывает, что ему не чужды отвлекающие задачи. Пашущий вол не оставляет следов, поскольку за ним движется плуг и затирает все следы.

Задача пахаря.

Сколько борозд на поле, если пахарь должен сделать три разворота на каждом конце поля.

Решение.

Задача о поросятах.

Было у хозяина 300 поросят. Он приказал забить их в три дня, только не знал, сколько было забито в каждый день конкретно. Потом он попросил сделать то же самое с 30 поросятами. Да еще захотел, чтобы в каждый день забивалось только нечетное количество поросят. Сколько поросят забивали каждый день?

Решение.

Решения нет: три нечетных числа не могут дать в сумме четное число

Истинный расцвет головоломок наступил в нашем тысячелетии, чему способствовали несколько событий. Во-первых, завершалась эпоха религиозного обскурантизма, а это привело к прекращению преследования математики, более того, ученых-математиков перестали воспринимать наравне с чернокнижниками, заключившими союз с дьяволом. Математика оформилась в виде законченной науки и стала находить новые сферы применения. Во-вторых, выросла общая образованность, что значительно увеличило круг людей, интересующихся головоломками. Наконец, в Европу были завезены шахматы, давшие импульс изобретению новых игр и связанных с ними головоломок.

Итальянцы Фибоначчи (XIII век) и Тарталья (XVI век) включили головоломки в свои научные изыскания. Первому принадлежала задача о кроликах.

Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Фибоначчи

Кстати, именно Фибоначчи способствовал появлению в Европе привычных нам арабских цифр. Случилось так, что сравнительно молодым человеком он оказался в Северной Африке, где помогал своему отцу в торговых делах. Именно там он узнал от арабов их форму записи чисел, а затем использовал ее в своих трудах.

Тарталья, который первым обнаружил способ нахождения корней кубического уравнения, придумал задачу о семнадцати лошадях.

В завещании умершего отца семейства говорилось, что имевшихся в хозяйстве семнадцать лошадей следовало поделить между наследниками в отношении одна вторая к одной третьей к одной девятой. Как выполнить завещание?

Тарталья

В XVI веке появилась другая известная задача-головоломка.

В компании из двадцати человек на церковные нужды собрали двадцать монет, причем мужчины заплатили по три монеты, женщины — по две, дети — по половине монеты. Сколько было мужчин, женщин и детей?

А что же головоломки со словами? Говорили и о них. Они существовали уже три тысячи лет назад, ведь именно тогда грек Пиндар, велеречивый поэт, сочинил стихотворение-головоломку, в которой спрятал зашифрованный текст. Другой грек Ликофрон, также склонный к поэтическому творчеству, во время длительной командировки в Александрию составил льстивые анаграммы имен царственных правителей Египта. Видимо, умение изобретать головоломки было небесполезным занятием при дворе. Впрочем, это признавали и раньше — даже в прообразе Библии на древнееврейском языке построение текста скрывает некоторые головоломки..

Логикой развития поэтические формы в лингвистических головоломках заменили приземленные ребусы, появившиеся во Франции в эпоху Возрождения. Они, безусловно, не столь изящны и рассчитаны на более широкий круг читателей, ибо содержат всего лишь комбинации слов, символов и картинок, шифрующих текст, однако найти и прочесть его все равно не просто.

— Один из ребусов в виде послания получил как-то Вольтер. Прусский король Фридрих приглашал его отобедать во дворце Сан Суси. Послание было составлено по последней моде и представляло изображение двух дробей, между которыми располагалась буква «a». Левая дробь содержала над чертой букву «P», под чертой — изображение двух рук. Правая — цифры 6 и 100 соответственно. В переводе с французского, на котором был составлен ребус, он содержал фразу «Завтра обед в Сан Суси». И что вы думаете? Вольтер, славившийся остроумием, ответил в том же духе. Он сочинил ребус-ответ: «У меня хороший аппетит», заключавшийся в двух буквах: «G a». Великие умы умели развлекаться!

Англичанин Джексон, учитель математики, в начале XIX века опубликовал головоломку в стихах, вольный перевод которой звучит следующим образом.

Девять вычти из шести, десять — из девятки, 
После сорок уменьшай, аж на пять десятков. 
Цифрой равною шести данный ребус заверши. 
Но про минусы у чисел, полагай, никто не слышал. 
Дальше вовсе не спеши — просто ребус напиши..

Заморские территории приносили Англии неслыханные доходы, процветали искусства и науки. Те времена породили много знаменитостей, среди них был Льюис Кэрролл.

— Кэрролл представлял собой необычного человека: угловатого, так как пропорции его тела не были симметричными, со странно кривой улыбкой. Будучи глухим на одно ухо, он, к тому же, заикался. Несмотря на духовный сан, он не верил в догмат загробной жизни, а вместо уроков слова божьего, читал лекции по математике, причем делал это так скучно, что студенты колледжа просили сменить опостылевшего лектора. Его необычная застенчивость, вылившаяся в странную дружбу с девочками, способствовала написанию книги о приключениях Алисы, бывшей тогда одной из его маленьких знакомых. Позднее корифеи мира головоломок, такие как В. Н. Белов и Раймонд Смаллиан, были очарованы сказкой об Алисе, нашли в ней источник для нового творчества. Хотя Кэрролл сочинил более сотни книг, в основном для детей, практически все они благополучно забыты. Но не забыты головоломки, придуманные им в часы одиночества. Вот две из них.

— Однажды некий дворянин, находясь в гостиной своего замка, обнаружил, что единственное окно квадратной формы, которое имелось в зале, дает чересчур много света. Он пригласил подрядчика и попросил переделать окно, чтобы через него проходила ровно половина света. Главным условием было требование сохранить окно квадратным, той же высоты и ширины. Дворянин не разрешал использовать ни занавеси, ни жалюзи, ни затемненное цветное стекло. Возможна ли желаемая переделка?

В Стране Чудес, куда перенеслась Алиса, ей выпала честь познакомиться с Герцогиней, оказавшейся большой любительницей перемывать косточки соседям.

— Возьми, к примеру, Синюю Гусеницу и Крошку Билля. Гусеница считает, что они оба безумны.

— Кто из них в действительности безумен? — спросила Алиса.

— Не скажу! — отвечала Герцогиня. — Я и так сообщила тебе все, что необходимо.

Как же обстояли дела?

При встрече с Синей Гусеницей ей пришлось решить задачу.

— Сколько будет, если тринадцать умножить на тринадцать? — услышала Алиса неожиданный вопрос, сопровождаемый клубами дыма.

— Конечно, сто шестьдесят девять, — ответила она.

— Неправильно! Ответ — двести тринадцать.

Удивленной Алисе Гусеница сообщила, что здесь использованы другие цифры. Какие?

Большой вклад в развитие головоломок внёс американец Сэм Ллойд, живший на рубеже веков. Родился он в Филадельфии, но затем вместе с семьей переехал в Нью-Йорк. Он хотел стать инженером, но забросил эту идею, когда начал прилично зарабатывать на своих. Уже шахматные задачи сделали его достаточно известным. Первую головоломку о головоломках он придумал в четырнадцать лет, а в шестнадцать был редактором шахматного ежемесячника. Начав с шахмат, он затем безмерно расширил сферу своих интересов.

В его руках обыкновенные задачи превращались в увлекательнейшие истории. Замечательным изобретением стала головоломка «игра в пятнадцать», с подачи Ллойда вызвавшая ажиотаж в Америке, а затем, словно чума, перекинувшаяся через океан и завоевавшая весь мир. Популярность игры была столь велика, что владельцы фирм вывешивали специальные объявления, запрещавшие играть с ней в рабочее время. В Германии ей баловались на заседаниях Рейхстага, а во Франции ей даже присвоили новое название — «такен» («задира»), так как она казалась более серьезным бедствием, чем алкоголь и табак.

«Игра в пятнадцать» состоит из пятнадцати одинаковых плоских фишек в виде квадратов со стороной в одну линейную единицу. Все фишки пронумерованы цифрами от одного до пятнадцати и уложены в открытую квадратную коробочку размерами шестнадцать на шестнадцать линейных единиц так, что остается свободным место еще для одной фишки. Любую из соседних фишек можно пальцем передвинуть на пустое место. Задача заключается в том, чтобы расставить фишки рядами согласно последовательности нанесенных на них номеров.

Проблема не очень то серьезная, если бы не одно обстоятельство. При попытке уложить фишки в коробочку случайным образом оказывается, что лишь половина из всех возможных комбинаций поддается упорядочению согласно приведенному условию. Другие комбинации сводятся к расположению, при котором фишки от первой до тринадцатой стоят на своих местах, а две фишки с номерами четырнадцать и пятнадцать поменялись местами. Подобную комбинацию использовал Ллойд для рекламной компании головоломки: за ее решение был назначен приз в несколько тысяч долларов, очень даже приличная сумма по тем временам. Автор ничего не терял, так как «игра в пятнадцать» из данной комбинации была не разрешима. Однако выяснилось это значительно позже, после детального математического описания свойств головоломки. Что это: предвидение или случайность?

Творчество Ллойда было иллюстрировано и другой головоломкой, поведанной когда-то им самим:

— Эта головоломка появилась во время верховой поездки на осле от Биксли до Квиксли. Спина и все, что ниже, заныли еще в начале пути, но проводник не имел возможности предложить что-либо лучшее. Осел плелся медленно, как ржавые часы, не намереваясь менять выбранную скорость движения. Чтобы подбодрить проводника, дона Педро, который изо всех сил тащил осла за вожжи, я предложил ему выпить винца, когда будет достигнут Пиксли. Предложение нашло горячий отклик. Через сорок минут я поинтересовался у Педро, как далеко мы продвинулись. Тот ответил: «На половину расстояния, оставшегося до Пиксли». Через семь миль я снова спросил у повеселевшего проводника: «Далеко ли до Квиксли?» Ответ был таким же: «Половина расстояния, на которое мы отошли от Пиксли». Примерно через час процессия из проводника, осла и автора въехала в Квиксли. Как далеко расположены друг от друга Биксли и Квиксли?

Биксли и Квиксли можно выдумать, что невозможно по отношению к Англии, находившейся через океан от Ллойда, в которой в одно время с ним жил другой замечательный изобретатель головоломок Генри Дьюдени. Его национальность сказывалась в излишней корректности и суховатости. Эти черты, тем не менее, не мешали ему охотно делиться своими головоломками со всеми, кто ими интересовался. Многие его находки перекочевали в книги, вышедшие под другими именами. Одно время он сотрудничал с Лойдом, но затем их пути разошлись. Дьюдени славился богатством воображения, артистизмом и изяществом изложения, а также глубокими математическими знаниями, хотя и был самоучкой в плане математики. Эти качества нашли отражение в его головоломках. Они тяготеют к математике, но для решения большинства из них достаточно иметь элементарные математические познания. Их надо читать, как литературные произведения, но от этого не теряется их смысл, скрытый за легкостью изложения. Чем пробка в полной бочке вина похожа на такую же, но выпавшую из бочки? Это одна из его «кентерберийских» головоломок, решение которой вообще не требует вычислений, но не обходится без серьезного умственного напряжения.

История создания самой известной и оригинальной игрушки-головоломки XX века начинается с марта 1970 года. Американский изобретатель Ларри Николс изобрел головоломку в виде кубика 2х2х2 с подвижными, поворачивающимися частями, и сразу же запатентовал свое изобретение.

В этом же 1970 году другой ученый Франк Фокс запатентовал свою сферическую головоломку.

В 1974 году Эрнё Рубик (венгерский скульптор, архитектор и изобретатель) работал преподавателем в Академии прикладного искусства. Разбирая со своими студентами математическую теорию групп, Эрнё сделал 27 кубиков из дерева и раскрасил каждый в шесть разных цветов. На практике оказалось очень сложно сложить куб, чтобы каждая сторона была одного цвета. Самому ученому понадобился ровно месяц, чтобы решить свою же головоломку.

Головоломка представляла собой пластмассовый куб с 54 гранями малых кубиков, которые вращаются вокруг трех осей по внутреннему цилиндрическому механизму. Каждая из шести граней куба 3х3х3 состояла из 9 квадратов одинакового цвета. Название «Кубик Рубика» было официально принято в большинстве стран мира, за исключением КНР и Германии, в этих странах распространилось и прижилось другое название – «Магический куб».

Массовое производство игрушек началось с 1977 года, но лишь в 1981 году полюбившаяся всему миру головоломка появилась в СССР. Успех к игрушке пришел молниеносно. Это был самый желанный подарок на любой праздник и для детей, и для взрослых. Желающим приобрести заветный подарок приходилось часами стоять в очередях. Доходило до абсурдного, когда лицензионными кубиками стали давать взятки чиновникам.

Стрессы поджидают нас повсюду – в транспорте, на работе и дома. Лучший способ «не закипеть» и избавиться от негативных эмоций – занять себя решением головоломки. Человек и сам не заметит, как быстро мысли придут в норму, настроение улучшится и нервы успокоятся.

---

Нашли ошибку в тексте? Выделите текст, содержащий ошибку и нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Enter. Мы увидим и исправим ошибку. Спасибо за внимание.

---